Question

【題目】已知函數(shù)（其中，且為常數(shù)）.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍；

（3）若方程在上有且只有一個實根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在（0,1），上單調(diào)遞增，在（1,2）上單調(diào)遞減（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】【試題分析】（1）將代入再求導(dǎo)，借助導(dǎo)函數(shù)值的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）借助問題（1）的結(jié)論，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，最終確定參數(shù)的取值范圍；（3）依據(jù)題設(shè)條件將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化為的零點的個數(shù)問題，再運用導(dǎo)數(shù)知識及分類整合思想進(jìn)行分析探求：

解：⑴函數(shù)的定義域為

由知

當(dāng)時，

所以函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,2）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

（Ⅱ）由

當(dāng)時,對于恒成立,在上單調(diào)遞增

,此時命題成立;

當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 當(dāng)時,有.這與題設(shè)矛盾,不合. 故的取值范圍是

（Ⅲ）依題意,設(shè),原題即為若在上有且只有一個零點,求的取值范圍.顯然函數(shù)與的單調(diào)性是一致的.

當(dāng)時,因為函數(shù)在上遞增,由題意可知解得;

當(dāng)時,因為,當(dāng)時,總有,此時方程沒有實根。

綜上所述,當(dāng)時,方程在上有且只有一個實根。