Question

【題目】如圖，為正三角形，且，，將沿翻折.

（1）若點(diǎn)的射影在上，求的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)的射影在中，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）2 （2）.

【解析】

（1）過(guò)A作交于E，取中點(diǎn)O，連接，，先證明平面和，求出，，再求的長(zhǎng)；

（2）以O為原點(diǎn)，以為x軸，以為y軸，以平面的過(guò)O的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)二面角為，，利用向量法求出，即得點(diǎn)坐標(biāo)和的長(zhǎng).

（1）過(guò)A作交于E，則平面.

取中點(diǎn)O，連接，，

∵平面，平面，

∴，

又是正三角形，∴，

又，AE，平面，

∴平面，∴.

又，O為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn).

∵，∴，，，

∴，.

∴；

（2）取中點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為,連接,

因?yàn)?/span>.

以O為原點(diǎn)，以為x軸，以為y軸，以平面的過(guò)O的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)二面角為，

因?yàn)?/span>平面，與（1）同理可證平面，

，，

則，，，.

∴，，

，

設(shè)平面的法向量為，

則，

令，得.

∴，

解得.

∴，又，

∴.