Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）設(shè)函數(shù)，若存在，使，證明：.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的極小值為，無極大值（2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值即可；

（2）求出a，問題轉(zhuǎn)化為證明lnx1+lnx2＜2（1），即ln2，不妨設(shè)x1＞x2，t1，即證lnt2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

（1）的定義域?yàn)?/span>，

，

令，

所以，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增.

所以.

所以函數(shù)的極小值為，無極大值.

（2），

當(dāng)時(shí)，由于，所以，，即，

當(dāng)時(shí)，由于，所以，，即，

當(dāng)時(shí)，，

綜上，，故在單調(diào)遞增，

故只須證明，

即證，

由，可知，

故，

即證，

，

，

也就是，

，

，

.

不妨設(shè)，，

即證，

，

即證，

設(shè)，

，

故在單調(diào)遞增.

因而，

即，

因此結(jié)論成立.