Question

如圖所示，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ=2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH．
（1）求證：AB∥GH；
（2）求二面角D-GH-E的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由給出的D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，利用三角形中位線知識(shí)及平行公理得到DC平行于EF，再利用線面平行的判定和性質(zhì)得到DC平行于GH，從而得到AB∥GH；
（2）由題意可知BA、BQ、BP兩兩相互垂直，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出BA、BQ、BP的長(zhǎng)度，標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出一些向量的坐標(biāo)，利用二面角的兩個(gè)面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D-GH-E的余弦值．
解答：（1）證明：如圖，

∵C，D為AQ，BQ的中點(diǎn)，∴CD∥AB，
又E，F(xiàn)分別AP，BP的中點(diǎn)，∴EF∥AB，
則EF∥CD．又EF?平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．
又CD?平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．
又AB∥CD，∴AB∥GH；
（2）由AQ=2BD，D為AQ的中點(diǎn)可得，三角形ABQ為直角三角形，
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA、BQ、BP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=BP=BQ=2，
則D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F(xiàn)（0，0，1），
因?yàn)镠為三角形PBQ的重心，所以H（0，，）．
則，
，．
設(shè)平面GCD的一個(gè)法向量為
由，得，取z₁=1，得y₁=2．
所以．
設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為
由，得，取z₂=2，得y₂=1．
所以．
所以=．
則二面角D-GH-E的余弦值等于．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面平行的性質(zhì)，考查了二面角的平面角及其求法，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，考查了計(jì)算能力，解答此題的關(guān)鍵是正確求出H點(diǎn)的坐標(biāo)，是中檔題．