Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，，E為PB的中點.

（1）證明：平面平面PBC；

（2）求直線PD與平面AEC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）可先證明，，從而平面PBC，由此能證明平面平面PBC；

（2）推導(dǎo)出,以C為原點，在平面ABCD中過C作CD的垂線為x軸，CD為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法直線PD與平面AEC所成角的正弦值

（1）證明：由平面ABCD，故.

又，，，

所以.

故，.

又，所以平面PBC，又平面

所以平面平面PBC.

（2）平面ABCD，故.

又，.

如圖建立坐標(biāo)系，

，，，，，.

∴， ， .

設(shè)平面ACE的一個法量為，

由，得，取，則

故，

設(shè)直線PD與平面AEC所成角為，

則.