Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=-1，且 （n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n 成等差數(shù)列．
（Ⅰ）設(shè)b_n=（n+1）a_n-n+2，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）（僅理科做） 若a_n-b_n≤kn對(duì)一切n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：，…1分
∵b₁=2a₁-1+2=-1，…2分（文3分），
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列． …4分（文6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即．
∴． …6分（文13分）
（Ⅲ）∵，
∴a_n-b_n≤kn，即．
設(shè)，，，
則c_n 隨著n的增大而減小，…8分
∵=，
∴n≥5時(shí)，d_n+1-d_n＜0，d_n+1＜d_nd_n隨著n的增大而減小，…10分
則n≥5時(shí)，e_n隨著n的增大而減�。� …
∵c₁=，c₂=，c₃=，c₄=，c₅=，
d₁=，d₂=0，d₃=，d₄=，d₅=，
∴e₁=0，e₂=，e₃=，e₄=，e₅=．
則e₁＜e₂＞e₃＞e₄＞e₅＞…．∴e₂=最大．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍k≥． …13分．
分析：（Ⅰ），由b₁=2a₁-1+2=-1，知，由此能夠證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由，知．由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）由，知．設(shè)，，，則c_n 隨著n的增大而減小，=，所以n≥5時(shí)，d_n+1-d_n＜0，d_n+1＜d_nd_n隨著n的增大而減小，n≥5時(shí)，e_n隨著n的增大而減�。� 由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．