Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=1-|2x-m|，x∈[0，1]．若函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對(duì)稱，求曲線段y=f（f（x））的長(zhǎng)度為$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的對(duì)稱性求出m，然后化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=1-|2x-m|，x∈[0，1]．若函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對(duì)稱，
可知函數(shù)在x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最大值．可得1-m=0，m=1，
函數(shù)f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x∈[0，\frac{1}{2}）}\\{2-2x，x∈[\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，
y=f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{4x，x∈[0，\frac{1}{4}）}\\{4-4x，x∈[\frac{3}{4}，1]}\\{2-4x，x∈[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）}\\{4x-2，x∈[\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）}\end{array}\right.$，
曲線段y=f（f（x））的長(zhǎng)度為：4×$\sqrt{（\frac{1}{4}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．