Question

13．如圖，已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右頂點為A，O 為坐標原點，以A 為圓心的圓與雙曲線C 的一條漸近線交于 P，Q 兩點．若∠PAQ=60°，且|PQ|=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，則雙曲線C 的漸近線方程為（　�。�

• A． $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$
• B． $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$
• C． y=±3x
• D． $y=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x$

Answer 1

分析 確定△QAP為等邊三角形，A到漸近線的距離=$\frac{\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}•$$\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，即可得出結論．

解答 解：因為∠PAQ=60°，所以△QAP為等邊三角形，
漸近線方程為y=$\frac{a}$x，A（a，0），A到漸近線的距離=$\frac{\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}•$$\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，
所以3b²=a²，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得雙曲線C 的漸近線方程為y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查點到直線距離公式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．