Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁，C₁，B三點的平面截去長方體的一個角后，得如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為．
（1）求棱A₁A的長；
（2）若在線段BC₁上存在點P，使直線A₁P⊥C₁D，求二面角D-A₁P-B的大�。�

Answer 1

解：（1）設(shè)A₁A=h，則V_ABCD-A1C1D1==2×2×h-=
解得：h=4，即A₁A的長為4．（4分）
（2）以為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A₁（2，0，4），B（2，2，0），C₁（0，2，4）（6分）

若在線段BC₁上存在點P（x，2，z）（0≤x≤2，0≤z≤4）使直線A₁P⊥C₁D
∵P、B、C₁共線，∴，∴z=4-2x
∴
由A₁P⊥C₁D得：（x-2，2，-2x）•（0，2，4）=0，解得：x= （8分）
此時點P的坐標(biāo)為（，2，3），
設(shè)平面DA₁P 的法向量為=（x，y，z），∴，∴
所以可取=（（2，1，-1），
設(shè)平面BA₁P的法向量為=（x′，y′，z′），∴，∴
所以可取=（2，2，1）（10分）
∴二面角D-A₁P-B的余弦值為
∴二面角D-A₁P-B的大小為（12分）
分析：（1）利用V_ABCD-A1C1D1=，建立方程，即可求得A₁A的長；
（2）以為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用A₁P⊥C₁D，求出點P的坐標(biāo)，進(jìn)而可求平面DA₁P 的法向量=（（2，1，-1），平面BA₁P的法向量=（2，2，1），利用向量的夾角公式，即可求得二面角D-A₁P-B的大�。�
點評：本題考查幾何體軛體積，空間角的計算等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力和探究能力，同時考查學(xué)生靈活利用圖形，借助向量工具解決問題的能力．