Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線L的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ+2ρ²sin²θ=12，且直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)
（1）求曲線C的普通方程及直線L恒過的定點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，若|AP||AQ|=6，求直線L的普通方程．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求出普通方程，即可求曲線C的普通方程及直線L恒過的定點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，若|AP||AQ|=6，利用參數(shù)的幾何意義，求出k，即可求直線L的普通方程．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ及已知得：x²+2y²=12；
由直線的參數(shù)方程知直線的直角坐標(biāo)方程為：xsinα-ycosα-2sinα=0，
所以直線恒過定點(diǎn)A（2，0）；
（2）將直線l的方程代入曲線C的方程得：（sin²α+1）t²+4tcosα-8=0，
設(shè)點(diǎn)P，Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓內(nèi)，這個(gè)方程必有兩個(gè)實(shí)根，
所以t₁t₂=$\frac{-8}{si{n}^{2}α+1}$，
則|AP||AQ|=|$\frac{-8}{si{n}^{2}α+1}$|=6，
所以sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosα=±$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
則k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由此直線的方程為y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查參數(shù)方程的 運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．