Question

設(shè)的最大值為M。

   （1）當(dāng)時(shí)，求M的值。

   （2）當(dāng)取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，求M的最小值；

       （以下結(jié)論可供參考：對(duì)于，當(dāng)同號(hào)時(shí)取等號(hào)）

   （3）對(duì)于第（2）小題中的，設(shè)數(shù)列滿足，求證：。

Answer 1

（1）    （2）  （3）見(jiàn)解析

解析:

（1）求導(dǎo)可得

   

    當(dāng)時(shí)取等號(hào)     3分

   （2）

       5分

   

    =6，

    。

    由（1）可知，當(dāng)時(shí)，    。

          7分

   （3）證法一：（局部放縮法）因?yàn)?img width=68 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/161/12961.gif">，

    所以

    由于

       9分

    所以不等式左邊

   

   

        11分

    下證

    ，

    顯然。即證。    12分

    證法二：（數(shù)學(xué)歸納法）即證：當(dāng)

   

    下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

    ①當(dāng)時(shí)，左邊，顯然；

    ②假設(shè)時(shí)命題成立，即

      8分

    當(dāng)時(shí)，

    左邊

    （）

均值不等式

                   

         11分

    下證：（*）

    （*），

    顯然。

    所以命題對(duì)時(shí)成立。

    綜上①②知不等式對(duì)一切成立。     12分