Question

如右圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問(wèn)當(dāng)a，b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。�

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一  設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則，其中k>0為比例系數(shù)．依題意，即所求的a，b值使y值最小． 根據(jù)題設(shè)，有4b+2ab+2a=60(a>0，b>0)， 得          ① 于是 當(dāng)a+2=時(shí)取符號(hào)，y達(dá)到最小值． 這時(shí)a=6，a=－10（舍去）．將a=6代入①式得b=3． 故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小． 解法二 依題意，即所求的a，b值使ab最大． 由題設(shè)知  4b+2ab+2a=60 （a>0，b>0） 即 a+2b+ab=30  (a>0，b>0) ∵a+2b≥， ∴，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，上式取等號(hào)． 由a>0， b>0，解得，0<ab≤18， 即當(dāng)a=2b時(shí)，ab取得最大值，其最大值為18． ∴2b2=18．解得b=3，a=6． 故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。�