Question

已知函數f(x)=loga(ax-1)(0＜a＜1)
（Ⅰ）求f（x）的定義域；
（Ⅱ） 討論f（x）的單調性；
（Ⅲ） 解不等式f（2x）＞f^-1（x）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對數函數的定義域為真數大于0，由此可求f（x）的定義域；
（Ⅱ）令函數u（x）=a^x-1，從而可知u（x）=a^x-1在（-∞，0）上是單調遞減的，又因為g（x）=log_ax也是單調遞減的，由復合函數的單調性，可得f（x）的單調性．…（8分）
（Ⅲ）由題知f-1(x)=loga(ax+1)，從而不等式f（2x）＞f^-1（x）等價為a^2x-1＜a^x+1，從而可求不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ）由題意，a^x＞1=a⁰，因為0＜a＜1，所以x＜0，
即f（x）的定義域為{x|x＜0}…（2分）
（Ⅱ）函數f（x）在（-∞，0）上是單調遞增的．…（4分）
令函數u（x）=a^x-1，
因為0＜a＜1
所以u（x）=a^x-1在（-∞，0）上是單調遞減的，
又因為g（x）=log_ax也是單調遞減的，
由復合函數的單調性知，
復合函數f（x）=g（u（x））在（-∞，0）上是單調遞增的．…（8分）
（Ⅲ）由題知f-1(x)=loga(ax+1)，x∈R…（10分）
于是不等式f（2x）＞f^-1（x）等價為a^2x-1＜a^x+1即：（a^x-2）（a^x+1）＜0
從而ax＜2=aloga2，所以x＞log_a2，又須2x＜0，
綜上，原不等式的解集為{x|log_a2＜x＜0}…（12分）

點評：本題以對數函數為載體，考查對數函數的定義域，考查復合函數的單調性，同時考查不等式的解法，考查學生等價轉化問題的能力．