Question

8．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P在雙曲線的右支上，且|PF₁|=5|PF₂|，則此雙曲線的離心率e的最大值為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，再根據(jù)點P在雙曲線的右支上，|PF₂|≥c-a，從而求得此雙曲線的離心率e的最大值．

解答 解：∵P在雙曲線的右支上，
∴由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|=4|PF₂|，
∴4|PF₂|-|PF₂|=2a，即|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，
根據(jù)點P在雙曲線的右支上，可得|PF₂|=$\frac{2}{3}$a≥c-a，∴$\frac{5}{3}$a≥c，即e≤$\frac{5}{3}$，
此雙曲線的離心率e的最大值為$\frac{5}{3}$，
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化為|PF₂|≥c-a是解決本題的關(guān)鍵．