Question

已知函數f（x）=

x+a

2x2+1

（x∈R）是奇函數．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的值域

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）由于f（x）是奇函數，則f（-x）=-f（x），計算化簡即可得到a=0，進而得到解析式；
（Ⅱ）將函數整理成二次方程，先討論二次項系數為0，再考慮不為0，再由判別式大于0，解得即可得到值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
又f(-x)=

-x+a

2x2+1

=-

x+a

2x2+1

⇒-x+a=-x-a⇒a=0，
∴f(x)=

x

2x2+1

；
（Ⅱ）y=

x

2x2+1

⇒2yx2-x+y=0，
當y=0時，x=0∴y=0成立，
當y≠0時，△=1-4×2y×y≥0⇒-

2

4

≤y≤

2

4

且y≠0．
綜上值域為[-

2

4

，

2

4

]．

點評：本題考查函數的性質和運用，考查函數的奇偶性和運用，以及函數的值域的求法：判別式法，考查運算能力，屬于中檔題．