Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，若雙曲線C上存在點M，滿足

1

2

|MF₁|=|MO|=|MF₂|，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知可得2a=|MF₁|-|MF₂|=|MF₂|，進而在△F₁OM中，F(xiàn)₁O=c，F(xiàn)₁M=4a，OM=2a，在△F₁F₂M中，F(xiàn)₁F₂=2c，F(xiàn)₁M=4a，F(xiàn)₂M=2a，結(jié)合余弦定理，可得答案．

解答： 解：∵

1

2

|MF₁|=|MO|=|MF₂|，
故2a=|MF₁|-|MF₂|=|MF₂|，
在△F₁OM中，F(xiàn)₁O=c，F(xiàn)₁M=4a，OM=2a，
則cos∠MF₁O=

16a2+c2-4a2

2•4a•c

，
在△F₁F₂M中，F(xiàn)₁F₂=2c，F(xiàn)₁M=4a，F(xiàn)₂M=2a，
則cos∠MF₁O=

16a2+4c2-4a2

2•4a•2c

，
由∠MF₁O=∠MF₁O得：

16a2+c2-4a2

2•4a•c

=

16a2+4c2-4a2

2•4a•2c

整理得：c²=6a²
即

c2

a2

=e2=6
故e=

6

，
故答案為：

6

點評：本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質(zhì)，構(gòu)造關(guān)于a，c的方程是解答的關(guān)鍵，難度中檔．