Question

在△ABC中，頂點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)D，E滿足：①；②，③共線.

（Ⅰ）求△ABC頂點(diǎn)C的軌跡方程；

（Ⅱ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，只要該圓的切線與頂點(diǎn)C的軌跡有兩個(gè)不同交點(diǎn)M，N，就一定有，若存在，求該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(I)設(shè)C（x,y）,由得，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

由得，動(dòng)點(diǎn)E在y軸上，再結(jié)合與共線，

得，動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為;                  …………2分

由的，，整理得，.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602501833967916/SYS201205260252145428241587_DA.files/image011.png">的三個(gè)頂點(diǎn)不共線，所以，

故頂點(diǎn)C的軌跡方程為.…………5分

(II)假設(shè)存在這樣的圓，其方程為，

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，代入橢圓的方程，

得，

設(shè)M，N，

則，

所以 (*)…………7分

由，得0，

即，

將式子(*)代入上式，得.…………9分

又直線MN：與圓相切知：.

所以，即存在圓滿足題意；

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，可得，滿足.

綜上所述：存在圓滿足題意.

【解析】略