Question

已知函數(shù)f（x）=

m 1-x2 ，x∈(-1，1] 1-|x-2|，x∈(1，3]

，其中m＞0，且函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+4）=f（x）．若F（x）=3f（x）-x恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、(

  15

  3

  ，

  7

  )
• B、(

  15

  3

  ，

  8

  3

  )
• C、(

  4

  3

  ，

  7

  3

  )
• D、(

  4

  3

  ，

  8

  3

  )

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行變形后發(fā)現(xiàn)當(dāng)x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時(shí)，f（x）的圖象為半個(gè)橢圓．根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則需直線(xiàn)y=

x

3

與第二個(gè)橢圓相交，而與第三個(gè)橢圓不公共點(diǎn)．把直線(xiàn)分別代入橢圓方程，根據(jù)△可求得m的范圍．

解答：解：∵當(dāng)x∈（-1，1]時(shí)，將函數(shù)y=f（x）=m

1-x2

 化為方程x2+

y2

m

=1(y≥0)，
∴實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢圓，其圖象如圖所示．
同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，f（x）=1-|x-2|的圖象．
由f（x+4）=f（x），可得函數(shù)f（x）的周期為4，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象，
由于F（x）=3f（x）-x恰有5個(gè)零點(diǎn)，可得直線(xiàn)y=

x

3

與第二個(gè)半橢圓(x-4)2+

y2

m

=1(y≥0)相交，
而與第三個(gè)半橢圓(x-8)2+

y2

m

=1(y≥0)無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)（x）恰有5個(gè)零點(diǎn)．
將y=

x

3

代入(x-4)2+

y2

m

=1(y≥0)得，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m²（t＞0），
則（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，
再由9m²＞15，且m＞0得 m＞

15

3

．
同樣由y=

x

3

與第三個(gè)橢圓(x-8)2+

y2

m

=1(y≥0)由△＜0可計(jì)算得 m＜

7

．
綜上可知m∈(

15

3

，

7

)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，分段函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．