Question

16．已知數列{a_n}前n項和為S_n，滿足${S_n}=2{a_n}-2n（n∈{N^*}）$
（1）證明：{a_n+2}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}滿足${b_n}=log_2^{{a_n}+2}$，T_n為數列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和，若T_n＜a對正實數a都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用數列遞推關系、等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）證明：由題設${S_n}=2{a_n}-2n（n∈{N^*}），{S_{n+1}}=2{a_{n-1}}-2（n-1）（n≥2）$，
兩式相減得a_n=2a_n-1+2…（2分）
即a_n+2=2（a_n-1+2）又a₁+2=4，所以{a_n+2}是以4為首項，2為公比的等比數列…（4分）${a_n}+2=4×{2^{n-1}}，{a_n}=4×{2^{n-1}}-2={2^{n+1}}-2（n≥2）$
又a₁=2，所以${a_n}={2^{n+1}}-2（n∈{N^*}）$…（6分）
（2）∵${b_n}=log_2^{{a_n}+2}$=$lo{g}_{2}{2}^{n+1}$=n+1．
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$．…（8分）
所以${T_n}=（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}＜\frac{1}{2}$…（10分）
依題意得：$a≥\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．