Question

已知函數(shù)y=a^1-x（a＞0且a≠1）的圖象恒過點A．若點A在直線mx+ny-1=0（mn＞0）上，則

1

m

+

2

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,直線與圓

分析：根據(jù)題意，求出點A的坐標，得出m+n=1且m＞0，n＞0，利用基本不等式求

1

m

+

2

n

的最小值即可．

解答： 解：函數(shù)y=a^1-x（a＞0且a≠1）的圖象恒過點A，
即1-x=0時，y=a⁰=1，∴A（1，1）；
又點A在直線mx+ny-1=0（mn＞0）上，
∴m+n-1=0，即m+n=1；
又∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

2

n

=

m+n

m

+

2(m+n)

n

=3+

n

m

+

2m

n

≥3+2

n m • 2m n

=3+2

2

，
當且僅當

n

m

=

2m

n

，即n=

2

m=

2

-1時“=”成立；
∴

1

m

+

2

n

的最小值為3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點評：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了基本不等式的應用問題，是基礎題目．