Question

某船在海面A處測得燈塔C與A相距10

3

海里，且在北偏東30°的方向；測得燈塔B與A相距15

6

海里，且在北偏西75°的方向，船往正北方向航行到D處，再看燈塔B在南偏西60°的方向，問燈塔C與D相距多少海里？

Answer 1

分析：先畫出草圖，根據(jù)條件得到∠DBA=180°-∠BAD-∠BDA=45°，在三角形DBA中利用正弦定理求得DA的長，然后在三角形ADC中用余弦定理即可求出燈塔C與D相距多少海里．

解答：解：∠BAD=75°，∠ADB=60°，∠DAC=30°，AB=15

6

，AC=10

3

．
∴∠DBA=180°-∠BAD-∠BDA=45°，
∴

AD

sin∠DBA

=

AB

sin∠BDA

⇒AD=

AB

sin∠BDA

•sin∠DBA=30．
∴DC=

AD2+AC2-2AC•AD•cos∠DAC

=

302+(10 3 )2-2×30×10 3 × 3 2

=10

3

．
所以燈塔C與D相距：10

3

海里

點評：本題主要考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的應用．解決此類問題的關鍵在于把文字語言轉化為數(shù)學符號以及數(shù)學語言，用數(shù)學知識解題．