Question

已知f（x）=

2x-a

2x+1

（a∈R）的圖象關于坐標原點對稱．
（Ⅰ）求a的值，并求出函數F（x）=f（x）+2^x-

4

2x+1

-1的零點；
（Ⅱ）若函數h（x）=f（x）+2^x-

b

2x+1

在[0，1]內存在零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意知f（x）是R上的奇函數，從而可得a=1；代入可得F(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

4

2x+1

-1=

(2x)2+2x-6

2x+1

，從而求零點；
（2）h(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

b

2x+1

=

(2x)2+2x+1-1-b

2x+1

，從而可得方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]內有解．從而解得．

解答： 解：（1）由題意知f（x）是R上的奇函數，
∴f（0）=0，得a=1，
∴F(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

4

2x+1

-1=

(2x)2+2x-6

2x+1

，
由（2^x）²+2^x-6=0，得2^x=2，
∴x=1，
即F（x）的零點為x=1．
（2）h(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

b

2x+1

=

(2x)2+2x+1-1-b

2x+1

，
由題設知h（x）=0在[0，1]內有解，
即方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]內有解．
∴b=（2^x）²+2^x+1-1=（2^x+1）²-2在[0，1]內單調遞增，
∴2≤b≤7，
故當2≤b≤7時，函數h(x)=f(x)+2x-

b

2x+1

在[0，1]內存在零點．

點評：本題考查了函數的零點與方程的根的關系應用，屬于基礎題．