Question

找出具有下列性質(zhì)的所有正整數(shù)n：設(shè)集合{n，n＋1，n＋2，n＋3，n＋4，n＋5}可以劃分成兩個無公共元素的非空子集，使得一個子集中所有元素的乘積等于另一子集中所有元素的乘積．

Answer 1

證明：假定n具有所述性質(zhì)，那么六個數(shù)n，n＋1，n＋2，n＋3，n＋4，n＋5中任一個素因數(shù)p必定還整除另一個數(shù)(在另一個子集中)．因而p整除這兩個數(shù)的差，所以p只能為2，3，5．

再考慮數(shù)n＋1，n＋2，n＋3，n＋4．它們的素因數(shù)不能為5(否則上面的六個數(shù)中只有一個被5整除)，因此只能為2與3．這四個數(shù)中有兩個為連續(xù)奇數(shù)．它們必須是3的正整數(shù)冪(因為沒有其它因數(shù))，但這樣兩個冪的差被3整除，決不能等于2．矛盾！這就說明具有所述性質(zhì)的n是不存在的．