Question

7．一對父子參加一個親子摸獎游戲，其規(guī)則如下：父親在裝有紅色、白色球各兩個的甲袋子里隨機取兩個球，兒子在裝有紅色、白色、黑色球各一個的乙袋子里隨機取一個球，父子倆取球相互獨立，兩人各摸球一次合在一起稱為一次摸獎，他們取出的三個球的顏色情況與他們獲得的積分對應如表：

所取球的情況	三個球均為紅色	三個球均不同色	恰有兩球為紅色	其他情況
所獲得的積分	180	90	60	0

（Ⅰ）求一次摸獎中，所取的三個球中恰有兩個是紅球的概率；
（Ⅱ）設一次摸獎中，他們所獲得的積分為X，求X的分布列及均值（數學期望）E（X）；
（Ⅲ）按照以上規(guī)則重復摸獎三次，求至少有兩次獲得積分為60的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）所取三個球恰有兩個是紅球，包含兩類基本事件，即父親取出兩個紅球，兒子取出一個不是紅球；父親取出兩球為一紅一白，兒子取出一球為紅球，然后利用古典概型概率計算公式及互斥事件的加法公式求得答案；
（Ⅱ）求出X的取值，再求出取各個值的概，列出分布列，再由期望公式求期望
（Ⅲ）由二項分布的定義知，三次摸獎中恰好獲得60個積分的次數Y～$B（3，\frac{1}{3}）$，然后結合互斥事件的概率公式求得答案．

解答 解：（Ⅰ）設所取三個球恰有兩個是紅球為事件A，則事件A包含兩類基本事件：父親取出兩個紅球，兒子取出一個不是紅球，其概率為$\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{C_2^1}{C_3^1}=\frac{1}{9}$；
父親取出兩球為一紅一白，兒子取出一球為紅色其概率為$\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}•\frac{C_1^1}{C_3^1}=\frac{2}{9}$．
故$P（A）=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）X可以取180，90，60，0，取各個值的概率分別為：$P（X=180）=\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{1}{C_3^1}=\frac{1}{18}，P（X=90）=\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}•\frac{1}{C_3^1}=\frac{2}{9}$，$P（X=60）=\frac{1}{3}，P（X=0）=1-\frac{1}{18}-\frac{2}{9}-\frac{1}{3}=\frac{7}{18}$．
所求分布列為：

X	180	90	60	0
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{7}{18}$

隨機變量X的期望$E（X）=180×\frac{1}{18}+90×\frac{2}{9}+60×\frac{1}{3}+0×\frac{7}{18}=50$；
（Ⅲ）由二項分布的定義知，三次摸獎中恰好獲得60個積分的次數Y～$B（3，\frac{1}{3}）$，
則$P（Y≥2）=P（Y=2）+P（Y=3）=C_3^2{（\frac{1}{3}）^2}•\frac{2}{3}+C_3^3{（\frac{1}{3}）^3}=\frac{7}{27}$，
故所求概率為$\frac{7}{27}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的期望與方差，考查了古典概型概率公式的應用，考查了二項分布，是中檔題．