Question

(本題滿分15分) 已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn), 焦點(diǎn)為F(0, 1).

(Ⅰ) 求拋物線C的方程;

(Ⅱ)  在拋物線C上是否存在點(diǎn)P, 使得過點(diǎn)P

的直線交C于另一點(diǎn)Q, 滿足PF⊥QF, 且

PQ與C在點(diǎn)P處的切線垂直?

若存在, 求出點(diǎn)P的坐標(biāo); 若不存在,請說明理由.

Answer 1

本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。

(Ⅰ)  解: 設(shè)拋物線C的方程是x² = ay,

則,        即a = 4 .

故所求拋物線C的方程為x² = 4y .             …………………(5分)

(Ⅱ) 解:設(shè)P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) ,

則拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程是： ,

直線PQ的方程是：  .

將上式代入拋物線C的方程, 得：,

故 x₁+x₂=, x₁x₂=－8－4y₁,

所以 x₂=－x₁ , y₂=+y₁+4 .

而＝(x₁, y₁－1), ＝(x₂, y₂－1),

×＝x₁ x₂＋(y₁－1) (y₂－1)＝x₁ x₂＋y₁ y₂－(y₁＋y₂)＋1

＝－4(2+y₁)+ y₁(+y₁+4)－(+2y₁+4)+1

＝－2y₁ －－7＝(＋2y₁＋1)－4(+y₁+2)

＝(y₁＋1)²－＝＝0,

故 y₁＝4, 此時, 點(diǎn)P的坐標(biāo)是(±4,4) .  經(jīng)檢驗(yàn), 符合題意.

所以, 滿足條件的點(diǎn)P存在, 其坐標(biāo)為P(±4,4). ………………(15分)