Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，頂點B的坐標為（0，b），連接BF₂并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連接F₁C．
（1）若點C的坐標為（

4

3

，

1

3

），且BF₂=

2

，求橢圓的方程；
（2）若F₁C⊥AB，求橢圓離心率e的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì),橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義，建立方程關(guān)系即可求出a，b的值．
（2）求出C的坐標，利用F₁C⊥AB建立斜率之間的關(guān)系，解方程即可求出e的值．

解答： 解：（1）∵C的坐標為（

4

3

，

1

3

），
∴

16 9

a2

+

1 9

b2

=1，即

16

a2

+

1

b2

=9，
∵B

F

2 2

=b2+c2=a2，
∴a²=（

2

）²=2，即b²=1，
則橢圓的方程為

x2

2

+y²=1．
（2）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∵B（0，b），
∴直線BF₂：y=-

b

c

x+b，代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）得（

1

a2

+

1

c2

）x²-

2

c

x=0，
解得x=0，或x=

2a2c

a2+c2

，
∵A（

2a2c

a2+c2

，

b(c2-a2)

a2+c2

），且A，C關(guān)于x軸對稱，
∴C（

2a2c

a2+c2

，-

b(c2-a2)

a2+c2

），
則kF1C=-

b(c2-a2) a2+c2

2a2c a2+c2 +c

=

a2b-bc2

3a2c+c3

，
∵F₁C⊥AB，
∴

b(a2-c2)

3a2c+c3

•×（-

b

c

）=-1，
由b²=a²-c²得

c2

a2

=

1

5

，
即e=

5

5

．

點評：本題主要考查圓錐曲線的綜合問題，要求熟練掌握橢圓方程的求法以及直線垂直和斜率之間的關(guān)系，運算量較大．