Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=4，公差d＞0，且a₁，a₅，a₂₁分別是正數(shù)等比數(shù)列{b_n}的b3 ，b5 ，b7項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{c_n}對任意n^*均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1成立，設{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項表達式通過解方程可求得d=3，q=2，b₁=1，從而可求得數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）依題意，可求得c_n=

7    (n=1) 3•2n-1(n≥2)

，借助等比數(shù)列的求和公式即可求得{c_n}的前n項和為T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵a₅=4+4d，a₂₁=4+20d，且a₁，a₅，a₂₁成等比數(shù)列，
∴（4+4d）²=4（4+20d），
整理得：d²=3d，
∵公差d＞0，
∴d=3，
∴a_n=4+（n-1）×3=3n+1．
又b₃=a₁=4，b₅=a₅=16，
∴q²=4，
∵q＞0，
∴q=2，
∴b₁=

b3

q2

=1，
∴b_n=2^n-1．
（Ⅱ）∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，①
∴

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=a_n（n≥2），②
①-②：

cn

bn

=a_n+1-a_n=3，
∴c_n=3b_n=3•2^n-1（n≥2），
又c₁=b₁a₂=7，
∴c_n=

7    (n=1) 3•2n-1(n≥2)

．
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=7+3•2¹+3•2²+…+3•2^n-1=7+3（2¹+2²+…+2^n-1）=7+

6(1-2n-1)

1-2

=3•2ⁿ+1．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，突出考查方程思想與類比思想，考查等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．