Question

（本小題滿分14分）某房地產(chǎn)開發(fā)商投資81萬元建一座寫字樓，第一年裝修費為1萬元，以后每年增加2萬元，把寫字樓出租，每年收入租金30萬元．

（Ⅰ）若扣除投資和各種裝修費，則從第幾年開始獲取純利潤？

（Ⅱ）若干年后開發(fā)商為了投資其他項目，有兩種處理方案：①年平均利潤最大時以46萬元出售該樓; ②純利潤總和最大時，以10萬元出售該樓，問哪種方案盈利更多？

Answer 1

（1）4（2）方案①

【解析】

試題分析：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。（1）利潤=收入-投資，收入= ，每年裝修費為一個以 為首項， 為公差的等差數(shù)列，所以 年裝修費為，所以利潤當(dāng)利潤大于零時，即 開始獲純利潤。（2）年平均利潤為，利用基本不等式可知，當(dāng) 時，取最大值 ，此種方案利潤：；純利潤，利用二次函數(shù)的最值，可知當(dāng) 時 ，此種方案利潤為 ，兩種方案獲利一樣多，而方案①時間比較短，所以選擇方案①

試題解析：（Ⅰ）設(shè)第 年獲取利潤為 萬元， 年共收入租金萬元，付出裝修費構(gòu)成一個以 為首項， 為公差的等差數(shù)列，共 2分

因此利潤， 4分

令

解得： 6分

所以從第4年開始獲取純利潤． 7分

（Ⅱ）年平均利潤 9分

（當(dāng)且僅當(dāng)，即 時取等號）

所以 年后共獲利潤：（萬元） 11分

利潤

所以 年后共獲利潤：（萬元） 13分

兩種方案獲利一樣多，而方案①時間比較短，所以選擇方案①

考點：數(shù)學(xué)建模的能力，利用基本不等式求最值，二次函數(shù)的最值