Question

設點P(x,y)(x≥0)為平面直角坐標系xOy中的一個動點(其中O為坐標原點)，點P到定點M(，0)的距離比點P到y(tǒng)軸的距離大?

(1)求點P的軌跡方程，并說明它表示什么曲線；

(2)若直線l與點P的軌跡相交于A、B兩點，且OA⊥OB，點O到直線l的距離為，求直線l的方程.

Answer 1

解：(1)依題意得|PM|=d+，其中d表示點P到y(tǒng)軸的距離，

    即=|x|+.

∵x≥0,∴=x+.

    整理得y²=2x.

    這就是動點P的軌跡方程，它表示頂點在原點，對稱軸為x軸，開口向右的一條拋物線.

(2)a.當直線l的斜率不存在時，由題設可知直線l的方程是x=.

    聯(lián)立x=與y²=2x，可求得點A、B的坐標分別為(，)與(，-)，此時不滿足OA⊥OB，故不合題意.

b.當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=kx+b(其中k≠0,b≠0).

    將x=代入y²=2x中，

    并整理得ky²-2y+2b=0.                                                      ①

    設直線l與拋物線的交點坐標為A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，則y₁、y₂為方程①的兩個根，于是y₁y₂=.又由OA⊥OB可得x₁x₂+y₁y₂=0.                                                  ②

    將x₁=、x₂=代入②并整理得y₁y₂+4=0,∴b+2k=0.    ③

    又由點O到直線l的距離為,得.                    ④

    聯(lián)立③④得k=1,b=-2或k=-1，b=2.

    故直線l的方程為y=x-2或y=-x+2.