Question

已知函數(shù)，（）在處取得最小值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若在處的切線方程為，求證：當(dāng)時(shí)，曲線不可能在直線的下方；

（Ⅲ）若，（）且，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）導(dǎo)數(shù)法，先求導(dǎo)數(shù)，由條件，得出的值，再令或，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）導(dǎo)數(shù)法，構(gòu)造新函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)法，證明在恒成立，從而得出結(jié)論；（Ⅲ）用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得出直線方程，在用導(dǎo)數(shù)法證明.

試題解析：（Ⅰ），由已知得,           （3分）

當(dāng)時(shí)，此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增,

（Ⅱ）,,在的切線方程為，

即.                                                   （6分）

當(dāng)時(shí)，曲線不可能在直線的下方在恒成立，

令，,

當(dāng)，，

即在恒成立，

所以當(dāng)時(shí)，曲線不可能在直線的下方,                   （9分）

（Ⅲ）,

先求在處的切線方程，故在的切線方程為，即，

下先證明，

令

，

當(dāng)，

.                                                 （14分）

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，不等式的證明等知識(shí).