Question

18．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的兩個焦點為F₁、F₂，點P在橢圓C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=$\frac{4}{3}$，|PF₂|=$\frac{14}{3}$．求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 點P在橢圓C上，利用橢圓的定義可得：2a=|PF₁|+|PF₂|=6．在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{2}{|}^{2}-|P{F}_{1}{|}^{2}}$=2c，又b²=a²-c²，即可得出．

解答 解：∵點P在橢圓C上，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．
在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{2}{|}^{2}-|P{F}_{1}{|}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故橢圓的半焦距c=$\sqrt{5}$，
從而b²=a²-c²=4，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．