Question

15．如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，AC的中點(diǎn)，AC=BC，∠ACD=90°．
（1）求證：AB⊥平面EDC；
（2）若P為FG上任一點(diǎn)，證明：EP∥平面BCD．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出CD⊥AC，從而CD⊥平面ABC，進(jìn)而CD⊥AB，再求出CE⊥AB，CE⊥AB，由此能證明AB⊥平面EDC．
（2）連結(jié)EF、EG，推導(dǎo)出EF∥平面BCD，EG∥平面BCD，從而平面EFG∥平面BCD，由此能證明EP∥平面BCD．

解答 證明：（1）∵平面ABC⊥平面ACD，∠ACD=90°，
∴CD⊥AC，
∵平面ABC∩平面ACD=AC，CD?平面ACD，
∴CD⊥平面ABC，
又AB?平面ABC，∴CD⊥AB，
∵AC=BC，E為AB的中點(diǎn)，∴CE⊥AB，
又CE∩CD=C，CD?平面EDC，CE?平面EDC，
∴AB⊥平面EDC．
（2）連結(jié)EF、EG，∵E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，
∴EF∥BD，又BD?平面BCD，EF?平面BCD，
∴EF∥平面BCD，
同理可EG∥平面BCD，且EF∩EG=E，EF、EG?平面BCD，
∴平面EFG∥平面BCD，
∵P是FG上任一點(diǎn)，∴EP?平面EFG，
∴EP∥平面BCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．