Question

12．（1）過點P（3，2），且在x軸上的截距等于y軸上的截距2倍的直線方程；
（2）若一直線被直線4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的線段的中點恰好在坐標原點，求這條直線方程．

Answer 1

分析 （1）當直線不過原點時，設直線的方程為$\frac{x}{2a}$+$\frac{y}{a}$=1，把點P（2，3）代入求得a的值，即可求得直線方程，當直線過原點時，直線的方程可設為y=kx，把點P（2，3）代入求得k的值，即可求得直線方程，綜合可得答案．
（2）截得的線段的中點恰好是坐標原點，直線l與4x+y+6=0和3x-5y-6=0的交點關于原點對稱，交點適合兩直線，聯立方程，又直線過原點，因而消去常數可得所求直線方程．

解答 解：（1）當直線不過原點時，設直線的方程為 $\frac{x}{2a}$+$\frac{y}{a}$=1，
將點P（2，3）代入可得，$\frac{2}{2a}$+$\frac{3}{a}$=1，
∴a=4，
此時，直線方程為$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{4}$=1即x+2y-8=0，
當直線過原點時，直線的方程為y=kx，把點P（2，3）代入可得3=2k，
∴k=$\frac{3}{2}$，
即直線的方程為y=$\frac{3}{2}$x，即3x-2y=0，
綜上可得，滿足條件的直線方程為：x+2y-8=0或3x-2y=0．
（2）設所求直線l與已知兩直線的交點分別是A、B，設A（x₀，y₀），
∵A、B關于原點對稱，
∴B（-x₀，-y₀）．
又∵A、B分別在兩直線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{x}_{0}+{y}_{0}+6=0}\\{-3{x}_{0}+5{y}_{0}-6=0}\end{array}\right.$，
解得x₀+6y₀=0，即點A在直線x+6y=0上，又直線x+6y=0過原點，
∴直線l的方程是x+6y=0．

點評 本題主要考查了求直線的方程，體現了分類討論的數學思想，解題的關鍵討論直線是否過原點，屬于基礎題．