Question

設函數f（x）在定義域R上總有f（x）=-f（x+2），且當-1＜x≤1時，f（x）=x²+2．
（1）當3＜x≤5時，求函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）在（3，5]上的單調性，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）易證y=f（x）是以4為周期的函數，從而可由-1＜x≤1時，f（x）=x²+2⇒當3＜x≤5時，函數f（x）的解析式；
（2）任取x₁，x₂∈（3，4]，且x₁＜x₂，利用單調性的定義，作差f（x₁）-f（x₂）判斷其符號即可．

解答：解：（1）∵f（x）=-f（x+2），
∴f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
∴y=f（x）是以4為周期的函數，
又當-1＜x≤1時，f（x）=x²+2，
∴當3＜x≤5時，-1＜x-4≤1，
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）²+2；
（2）∵函數f（x）=（x-4）²+2的對稱軸是x=4，
∴函數f（x）=（x-4）²+2在（3，4]上單調遞減，在[4，5]上單調遞增；
證明：任取x₁，x₂∈（3，4]，且x₁＜x₂，有
f（x₁）-f（x₂）
=[（x₁-4）²+2]-[（x₂-4）²+2]
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-8）．
∵3＜x₁＜x₂≤4，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-8＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
故函數y=f（x）在（3，4]上單調遞減．
同理可證函數在[4，5]上單調遞增．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數的周期性與單調性，考查推理論證能力，屬于中檔題．