Question

已知函數(shù)f（x）=sinωx•cosωx-cos²ωx+（ω∈R，x∈R）的最小正周期為π，且圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=1-f（x）的圖象與直線y=a在[0，]上只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=sinωx•cosωx-cos²ωx+
=sin2ωx-（1+cos2ωx）+=sin（2ωx-）+1，
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
∴=π，即ω=±1，
∴f（x）=sin（±2x-）+1．
①當(dāng)ω=1時(shí)，f（x）=sin（2x-）+1，
∴f（）=sin+1不是函數(shù)的最大值或最小值，
∴其圖象不關(guān)于x=對(duì)稱，舍去．
②當(dāng)ω=-1時(shí)，f（x）=-sin（2x+）+1，
∴f（）=-sin+1=0是最小值，
∴其圖象關(guān)于x=對(duì)稱．
故f（x）的解析式為f（x）=1-sin（2x+）．
（2）∵y=1-f（x）=sin（2x+）在同一坐標(biāo)系中作出
y=sin（2x+）和y=a的圖象，
由圖可知，直線y=a在a∈或a=1時(shí)，兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴a∈或a=1．
分析：（1）先根據(jù)兩角和與差的公式和二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由最小正周期求出ω的值，最后根據(jù)圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱確定函數(shù)f（x）的解析式．
（2）將（1）中函數(shù)f（x）的解析式代入到y(tǒng)=1-f（x）中，然后在同一坐標(biāo)系中畫出y=1-f（x）與y=a的圖象，進(jìn)而根據(jù)圖象可求出a的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和與差的正弦公式和二倍角公式的應(yīng)用和最小正周期的求法．考查三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用和靈活能力．