Question

8．矩形ABCD的兩條邊AB和AD所在直線的方程分別是x-2y+4=0和2x+y-7=0，它的對(duì)角線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-1，1），求邊BC和邊CD所在直線的方程．

Answer 1

分析 方法一：先求出A的坐標(biāo)，設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線BC和CD的斜率，從而求出直線方程即可；
方法二：先設(shè)出直線BC和CD的方程，根據(jù)平行關(guān)系求出即可．

解答 解：（方法一）
解聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4=0\\ 2x+y-7=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\right.$
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（2，3）…（3分）
∵點(diǎn)M（-1，1）是AC的中點(diǎn)
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（x₀，y₀），則有$\frac{{2+{x_0}}}{2}=-1$且$\frac{{3+{y_0}}}{2}=1$
解得x₀=-4，y₀=-1
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，-1）…（6分）
∵CD∥AB，BC∥AD
∴k_BC=k_AD=-2，${k_{CD}}={k_{AB}}=\frac{1}{2}$…（8分）
∴直線BC的方程是y-（-1）=-2[x-（-4）]，即2x+y+9=0
直線CD的方程是$y-（-1）=\frac{1}{2}[x-（-4）]$，即x-2y+2=0…（12分）
（方法二）
依題意知CD∥AB，BC∥AD
設(shè)直線BC和CD的方程分別是2x+y+m=0和x-2y+n=0…（4分）
設(shè)點(diǎn)M到直線AB，BC，CD，AD的距離分別為d₁，d₂，d₃，d₄，則有d₁=d₃，d₂=d₄
∴$\frac{{|{-1-2×1+4}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-2）}^2}}}}=\frac{{|{-1-2×1+n}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-2）}^2}}}}$，$\frac{{|{2×（-1）+1-7}|}}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{{|{2×（-1）+1+m}|}}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}$…（8分）
解得n=2或n=4（舍去），m=9或m=-7（舍去）          …（10分）
∴直線BC和CD的方程分別是2x+y+9=0和x-2y+2=0…（12分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了待定系數(shù)法求直線的方程問題，考察直線的位置關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，是一道中檔題．