Question

已知f（x）=x³+ax²-a²x+2
（Ⅰ）如果函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

3

，1），求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若a≠0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1的解集為P，且（0，+∞）?P，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）求出f（x）的導函數(shù)，令導函數(shù)小于0得到不等式的解集，得到相應方程的兩個根，將根代入，求出a的值．
（II）求出f（x）的導數(shù)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可得到結論．．
（III）求出不等式，分離出參數(shù)a，構造函數(shù)h（x），利用導數(shù)求出h（x）的最大值，令a大于等于最大值，求出a的范圍．

解答： 解：（I）f′（x）=3x²+2ax-a²
由∵函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

3

，1），
∴3x²+2ax-a² ＜0的解是（-

1

3

，1），
即3x²+2ax-a² =0的兩根分別是-

1

3

，1，
則-

1

3

+1=-

2a

3

=

2

3

，得a=-1．
∴f（x）=x³-x²-x+2．
（II）由（Ⅰ）知：f′（x）=3x²+2ax-a² =（x+a）（3x-a），
由f′（x）=（x+a）（3x-a）=0，解得x=-a或x=

a

3

．
若a＞0，則由f′（x）＞0得x＞

a

3

或x＜-a，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得-a＜x＜

a

3

，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
若a＜0，則由f′（x）＞0得x＞-a或x＜

a

3

，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得

a

3

＜x＜-a，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即a＞0時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-a）和（

a

3

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-a，

a

3

）．
a＜0時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，

a

3

）和（-a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（

a

3

，-a）．
（III）∵2xlnx≤f′（x）+a²+1的解集是P，
即：2xlnx≤3x²+2ax+1對x∈（0，+∞）上恒成立，
即a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

對x∈（0，+∞）上恒成立，
設h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，
則h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

，
由h′（x）=0，得x=1或x=-

1

3

（舍），
當0＜x＜1時，h′（x）＞0；
當x＞1時，h′（x）＜0
∴當x=1時，h（x）取得最大值-2
∴a≥-2．
∴a的取值范圍是[-2，+∞）．

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，常用的方法是分離出參數(shù)，構造新函數(shù)，求出新函數(shù)的最值，得到參數(shù)的范圍，綜合性較強，有一定的難度．