Question

12．已知F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為（　�。�

• A． （1，2）
• B． （2，1+$\sqrt{2}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （1+$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，得到等腰△ABE中，∠AEB為銳角，可得|AF|＜|EF|，將此式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、c的不等式，化簡(jiǎn)整理即可得到該雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，得
△ABE中，|AE|=|BE|，
△ABE是銳角三角形，即∠AEB為銳角，
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，
得|AF|＜|EF|
∵|AF|=$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a}$，|EF|=a+c，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a}$＜a+c，即2a²+ac-c²＞0，
兩邊都除以a²，得e²-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，
∵雙曲線的離心率e＞1，
∴該雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，2）
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題給出雙曲線過一個(gè)焦點(diǎn)的通徑與另一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成銳角三角形，求雙曲線離心率的范圍，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．