Question

已知{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，lga₁、lga₂、lga₄成等差數(shù)列，又b_n=,n=1,2,3….

（Ⅰ）證明{b_n}為等比數(shù)列；

（Ⅱ）如果無(wú)窮等比數(shù)列{b_n}各項(xiàng)的和S=,求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公差d.

(注：無(wú)窮數(shù)列各項(xiàng)的和即當(dāng)n→∞時(shí)數(shù)列前n項(xiàng)和的極限)

Answer 1

（Ⅰ）證明：

∵、、成等差數(shù)列，    

∴2=+，即.

等差數(shù)列的公差為，則,

這樣.從而.        

(i) 若，則為常數(shù)列，相應(yīng)也是常數(shù)列.

此時(shí)是首項(xiàng)為正數(shù)，公式為1的等比數(shù)列.     

(ii)若，則

，.

這時(shí)是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.綜上知，為等比數(shù)列.           

（Ⅱ）解：

如果無(wú)窮等比數(shù)列的公比，則當(dāng)n→∞時(shí)其前項(xiàng)和的極限不存在.

因而，這時(shí)公比，.

這樣，的前n項(xiàng)和，

則S=Sn==.        由S=得公差=3，首項(xiàng).