Question

解答題： 從橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1，且它的長(zhǎng)軸右端點(diǎn)A與短軸上端點(diǎn)B的連線AB//OM． (1) 求橢圓的離心率； (2) Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F2是右焦點(diǎn)，求∠F1QF2的取值范圍； (3) 過(guò)F1作AB的平行線交橢圓于C、D兩點(diǎn)，若|CD|＝3，求橢圓的方程．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：由已知可設(shè)M(－c,y)． 則有＋＝1． 因?yàn)?I>M在第二象限，所以M(－c,)．…………2分 又由AB∥OM，可知kAB＝kOM． ∴－＝－．…………3分 ∴b＝c,∴a＝b．…………4分 ∴e＝＝．…………5分
(2)	解：設(shè)|F1Q|＝m,|F2Q|＝n,則m＋n＝2a,mn＞0． |F1F2|＝2c,a2＝2c2． ∴cos∠F1QF2＝＝ ＝－1＝…………6分 ≥－1＝－1＝0．…………7分 當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝a時(shí)，等號(hào)成立．…………8分 故∠F1QF2∈[0，]．…………9分
(3)	解：∵CD∥AB，kCD＝－＝－． 設(shè)直線CD的方程為y＝－(x＋c),即y＝－(x＋b)．…………10分 則消去y整理得 (a2＋2b2)x2＋2a2bx－a2b2＝0．…………11分 設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),∵a2＝2b2, ∴x1＋x2＝－＝－＝－b, x1·x2＝－＝－＝－． ∴|CD|＝|x1－x2|＝· ＝·＝＝3．…………13分 ∴b2＝2,則a2＝4． ∴橢圓的方程為＝1．…………14分