Question

設(shè)f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（

π

6

）|對一切x∈R恒成立，則   
①f（-

π

12

）=0；       
②f（x）的圖象關(guān)于（

π

6

，0）對稱；
③f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）；    
④|f（

7π

12

）|＞|f（

π

5

）|；
⑤存在經(jīng)過點（a，b）的直線與函數(shù)f（x）的圖象相交．
以上結(jié)論正確的是

 

（寫出所有正確結(jié)論的編號）．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：依題意，可知x=

π

6

是其一條對稱軸，由f（0）=f（

π

3

）可得，b=

3

3

a，不妨令a=

3

，則b=1（或a=-

3

，則b=-1，
再對①②③④⑤五個選項逐一分析判斷即可．

解答： 解：∵f（x）=asin2x+bcos2x，f（x）≤|f（

π

6

）|對一切x∈R恒成立，
∴x=

π

6

是其一條對稱軸，
∴f（0）=f（

π

3

），即b=

3

2

a-

1

2

b，
∴b=

3

3

a，不妨令a=

3

，則b=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
對于①，f（-

π

12

）=0，正確；       
對于②，f（

π

6

）=2≠0，
∴f（x）的圖象關(guān)于（

π

6

，0）對稱不正確；
對于③，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

．
或由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（此時a與b均為負(fù)值）（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），或[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（此時a與b均為負(fù)值），（k∈Z），故③錯誤；    
對于④，|f（

7π

12

）|=2|sin（

7π

6

+

π

6

）|=

3

，
|f（

π

5

）|=2|sin（

2π

5

+

π

6

）|=2sin

13π

30

＞2sin

10π

30

=

3

，故④錯誤；
對于⑤，存在經(jīng)過點（a，b）=（

3

，1）的直線與函數(shù)f（x）的圖象相交，正確．
故答案為：①⑤．

點評：本題考查兩角和的正弦，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，考查分析綜合應(yīng)用能力，屬于難題．