Question

16．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足ccosB=（2a+b）cos（π-C）．
（1）求角C的大小；
（2）若c=4，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）由誘導(dǎo)公式，正弦定理化簡已知可得sinCcosB=（-2sinA-sinB）cosC，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得
cosC=-$\frac{1}{2}$，即可得解C的值．
（2）利用三角形面積公式可求得ab=4，利用余弦定理即可求得a+b的值．

解答 解：（1）∵ccosB=（2a+b）cos（π-C）．
∴sinCcosB=（-2sinA-sinB）cosC，
∴sin（B+C）=-2sinAcosC，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$．
（2）由${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{3}$，可得：ab=4，
由余弦定理可得：c²=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=16，
解得：a+b=2$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了誘導(dǎo)公式，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．