Question

過圓C：（x-6）²+（y-4）²=8上一點A（4，6）作圓的一條動弦AB，點P為弦AB的中點．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)點P關(guān)于x=1的對稱點為E，關(guān)于y=x的對稱點為F，求|EF|的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接PC，由垂徑定理知，PC⊥AB，所以點P的軌跡是以線段AC為直徑的圓（除去點A），求出AC中點C₁坐標，圓半徑，即可求得點P的軌跡方程；                  
（Ⅱ）設(shè)點P（x₀，y₀），求出點E（2-x₀，y₀），點F（y₀，x₀），得到關(guān)系式，設(shè)點M（1，1），則|EF|=

2

|PM|，利用|MC₁|-r≤|PM|≤|MC₁|+r，即可求得|EF|的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）連接PC，由垂徑定理知，PC⊥AB，所以點P的軌跡是以線段AC為直徑的圓（除去點A）．
因為點A（4，6），C（6，4），則AC中點C₁坐標為（5，5），又圓半徑r=

|AC|

2

=

2

．
故點P的軌跡方程是（x-5）²+（y-5）²=2 （x≠4，y≠6）．（4分）                        
（Ⅱ）設(shè)點P（x₀，y₀），
因為點P、E關(guān)于x=1對稱，則點E（2-x₀，y₀） 
因為P、F關(guān)于y=x對稱，則點F（y₀，x₀） （6分）                                         
所以|EF|=

(2-x0-y0)2+(y0-x0)2

=

2

(x0-1)2+(y0-1)2

 
設(shè)點M（1，1），則|EF|=

2

|PM|
∵|MC₁|-r≤|PM|≤|MC₁|+r
∴3

2

≤|PM|≤5

2

，
∴6≤|EF|≤10（12分）

點評：本題重點考查軌跡方程的求解，考查圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是充分利用圓的性質(zhì)，屬于中檔題．