Question

2．解下列關于x的不等式．
（1）（x+4）（x+5）²（2-x）³＜0；
（2）|4x²-10x-3|＜3；
（3）$\frac{{x}^{2}-4x+1}{3{x}^{2}-7x+2}$＜1．

Answer 1

分析 （1）將原不等式等價轉化后，由一元二次不等式和解法求出解集，并用穿根法借助于數(shù)軸畫出來；
（2）將原不等式去掉絕對值，轉化為一元二次不等式組，由一元二次不等式的解法求出解集；
（3）通分后將原不等式等價轉化，利用穿根法借助于數(shù)軸畫出圖象，再求出解集．

解答 解：（1）原不等式等價于（x+4）（x+5）²（x-2）³＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≠5}\\{（x+4）（x-2）＞0}\end{array}\right.$，解得x＜-4或x＞2且x≠-5，
如圖所示：
∴原不等式解集為{x|x＜-4或x＞2且x≠-5}；
（2）將|4x²-10x-3|＜3去掉絕對值號得，
-3＜4x²-10x-3＜3，
∴原不等式等價于不等式組$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-10x＞0}\\{4{x}^{2}-10x-6＜0}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{2x（2x-5）＞0}\\{2（x-3）（2x+1）＜0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x＜0或x＞\frac{5}{2}}\\{-\frac{1}{2}＜x＜3}\end{array}\right.$，
∴原不等式的解集為{x|$-\frac{1}{2}＜x＜0$或$\frac{5}{2}＜x＜3$}；
（3）由$\frac{{x}^{2}-4x+1}{3{x}^{2}-7x+2}＜1$ 得，$\frac{{-2x}^{2}+3x-1}{3{x}^{2}-7x+2}＜0$，
∴原不等式等價于$\frac{（2x-1）（x-1）}{（3x-1）（x-2）}＞0$，即（2x-1）（x-1）（3x-1）（x-2）＞0，
如圖所示：
∴原不等式解集為{x|x  $＜\frac{1}{3}$或$\frac{1}{2}＜x＜1$ 或x＞2}．

點評 本題考查高次不等式、絕對值不等式、分式不等式的等價轉化問題，一元二次不等式的解法，以及穿根法的應用，考查數(shù)形結合思想，轉化思想，化簡、變形能力．