Question

5．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，若存在過右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線C相交于A，B 兩點(diǎn)且$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，則雙曲線在一、三象限的漸近線的斜率的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)向量數(shù)量積關(guān)系，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：由題意，A在雙曲線的左支上，B在右支上，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），右焦點(diǎn)F（c，0），
則∵$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，∴c-x₁=3（c-x₂），
∴3x₂-x₁=2c，
∵x₁≤-a，x₂≥a，
∴3x₂-x₁≥4a，∴2c≥4a，∴e=$\frac{c}{a}$≥2，
∴$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+{k^2}}≥2，即k≥\sqrt{3}或k≤-\sqrt{3}$
∴雙曲線在一、三象限的漸近線的斜率的最小值為$\sqrt{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)向量共線關(guān)系，建立方程組是解決本題的關(guān)鍵．