Question

已知函數(shù)，（）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，總有成立.

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/02/15/2014040215302969273318.files/image235.gif'>，

.

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

		0		0
	↘		↗		↘

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

		0		0
	↗		↘		↗

綜上所述，

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.

                                       

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增，；在上單調(diào)遞減，且.

所以時(shí)，.

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/02/15/2014040215302969273318.files/image128.gif'>，所以，

令，得.

①當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以.

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/02/15/2014040215302969273318.files/image262.gif'>，

所以對(duì)于任意，總有.

②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，.

所以對(duì)于任意，仍有.

綜上所述，對(duì)于任意，總有.