Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+1，（a∈R），當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）的最小值為5，則a的值為

2

．

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)小于0根據(jù)a的不同取值范圍得到原函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）的最小值為5的a的值，滿足a的取值范圍的保留，不滿足的舍掉，從而求出a的值．

解答：解：由f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+1，得
f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
令f'（x）＜0，得（x-a）（x-1）＜0
當(dāng)a≤1時(shí)，a＜x≤1，f（x）在[1，3]為單調(diào)增，所以在x=1處有最小值，
即f（1）=2-3（a+1）+6a=4，解得a=

5

3

（舍去）；
當(dāng)1＜a＜3時(shí)，1＜x＜a，f（x）在[1，a]單調(diào)減，在[a，3]單調(diào)增，所以在x=a處有最小值，
即f（a）=2a³-3（a+1）a²+6a²=4，
即a³-3a²+4=0，即（a³+1）-3（a²-1）=0，
即（a+1）（a-2）²=0，解得a=2或a=-1（舍去）．
當(dāng)a≥3時(shí)，f（x）在[1，3]上為單調(diào)減，所以在x=3處有最小值，
f（3）=54-27（a+1）+18a=4，解得a=

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（舍去）．
所以當(dāng)x∈[1，3]，f（x）的最小值為5時(shí)a的值為2．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)正確的分類，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判處函數(shù)在區(qū)間[1，3]內(nèi)的單調(diào)情況是解決該題的關(guān)鍵，是難題．