Question

17．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=32{a_1}$，則$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{5}{6}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，我們易求出數(shù)列的公比，再結(jié)合存在兩項(xiàng)a_m、a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=32{a_1}$，我們可以求出正整數(shù)m，n的和，再結(jié)合基本不等式中“1”的活用，即可得到答案．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，
∵a₇=a₆+2a₅，則a₁•q⁶=a₁•q⁵+2a₁•q⁴
即q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）
若$\sqrt{{a_m}{a_n}}=32{a_1}$，即a₁•${2}^{\frac{m+n-2}{2}}$=32a₁，
則m+n=12，
則12（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=5+（$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）
≥5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=8時(shí)，$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值為$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等比數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式，其中根據(jù)已知中正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，若存在兩項(xiàng)a_m、a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=32{a_1}$，將問題轉(zhuǎn)化為用基本不等式求最值是解答本題的關(guān)鍵．