Question

如圖，在直三棱柱中，，，是的中點．

（1）求證：平行平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）試問線段上是否存在點，使與成角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）只需證∥；（2）；（3）點為線段中點時，與成角.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：連結(jié)，交于點，連結(jié).

由 是直三棱柱，

得 四邊形為矩形，為的中點.

又為中點，所以為中位線，

所以 ∥，        

因為 平面，平面，

所以 ∥平面.  

（Ⅱ）由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標系.設(shè)，

則.

所以 ， 

設(shè)平面的法向量為，則有

所以  取，得.

易知平面的法向量為.

由二面角是銳角，得 .

所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的點.

因為在線段上，，，故可設(shè)，其中.

所以 ，.

因為與成角，所以.

即，解得，舍去.        

所以當點為線段中點時，與成角.

考點：線面平行的判定定理；二面角；異面直線所成的角。

點評：二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說三求。②向量法，運用向量法求二面角應(yīng)注意的是計算。很多同學(xué)都會應(yīng)用向量法求二面角，但結(jié)果往往求不對，出現(xiàn)的問題就是計算錯誤。