Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（I）判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，∞）上的最小值為-2，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分a＞1和0＜a＜1兩種情況利用兩個(gè)增函數(shù)相加為增函數(shù)的特點(diǎn)可得結(jié)論；
（Ⅱ）利用換元法和分類討論的思想表示出函數(shù)的最值讓其等于-2可解m的值，注意取舍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a＞1時(shí)，y=a^x在R上單調(diào)遞增，y=a-x=(

1

a

)x在R上單調(diào)遞減，
y=-a^x在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)閮蓚�(gè)增函數(shù)相加所得的函數(shù)為增函數(shù)，
所以f（x）=a^x-a^-x在R上單調(diào)遞增；
同理可得，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）在R上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）∵f（1）=

3

2

∴a-

1

a

=

3

2

即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-

1

2

（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2
令t=f（x）=2^x-2^-x
∵x≥1，∴t≥f(1)=

3

2

∴g（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²
g（t）是關(guān)于t的二次函數(shù)的一部分，開口向上，對(duì)稱軸為x=m結(jié)合圖象可知：
當(dāng)m≥

3

2

時(shí)，g(t)min=g(m)=2-m2=-2，∴m=2或m=-2（舍去）
當(dāng)m＜

3

2

時(shí)，g(t)min=g(

3

2

)=

17

4

-3m=-2，∴m=

25

12

＞

3

2

（舍去）
綜上可知m=2．

點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)的綜合應(yīng)用，用好分類討論思想和換元法是解決問題的關(guān)鍵，屬難題．